Реальное применение мнимой единицы

Всегда с интересом читаю простые объяснения сложных явлений. Именно объяснения, а не обоснования или даже доказательства, поскольку нельзя доказать, например, сложную теорему простым способом. А вот, описать простое применение неочевидного математического факта можно.
Предлагаю ссылку на статью «Откуда есть пошло комплексное число», в которой доходчиво демонстрируется применение мнимой единицы — квадратного корня из «–1». Если вы понимаете, что такое дискриминант и парабола, то вам без труда удастся разобраться в математических выкладках.

Задачка на наблюдательность

Найдите такие натуральные числа a, b, c, что

29 a + 30 b + 31 c = 366.

Задача на пространственное воображение

Имеется куб с ребром, равным 1. Сколько правильных тетраэдров с ребрами той же длины, то есть равными 1, можно разместить в таком кубе? Разумеется, тетраэдры не перекрываются, но касаться друг друга могут.

Песочные часы

Имеются двухминутные и пятиминутные песочные часы. Требуется отмерить 8 минут при условии, что песок в пятиминутных часах ссыпался в нижнюю часть полностью, а в двухминутных часах находится частично в верхней части (и нет времени «обнулить» двухминутные часы).

Геометрия на салфетке (трисекция прямого угла с помощью плоского оригами)

Требуется сложить квадратную салфетку таким образом, чтобы один из прямых углов разбить на три равные части, то есть по 30°.

Примечание 1. Любой квалифицированный официант это проделает за несколько секунд, причем не на глазок, а строго по законам геометрии.

Примечание 2. Салфетка может быть и прямоугольной.

Две задачи по программированию на округление

Пусть имеется действительная переменная. Требуется написать арифметическое выражение, которое округляет значение этой переменной до ближайшего целого числа, например, -2.7 ≈ -3, 3.14 ≈ 3.

Задача 1. Если мантисса равна 0.5, то округление делается до большего целого числа, например, 3,5 ≈ 4 — это обычное округление;
Задача 2. Если мантисса равна 0.5, то округление делается до меньшего целого числа, например, 3,5 ≈ 3 — возможный вариант округления, по крайней мере, в программах 1С имеется такая опция.
Примечание. Решение 2-ой задачи — довольно простое выражение, но вывести соответствующую формулу — далеко не простое дело. Эта задача (и решение) пришли мне в голову при подготовке задачника, который готовится к публикации (см. также «Задача-любимчик»).

Задача-миниатюра по программированию

Написать программу, в которой меняются значения двух целых переменных. Использование третьей переменной не разрешается.

Как измерить диагональ кирпича?

Требуется измерить диагональ кирпича. В наличии имеется линейка (или рулетка). Теорему Пифагора, как и другие математические факты, использовать нельзя — задача на сообразительность.
Подсказка. Рядом лежат еще несколько таких же кирпичей.

30-33=3

Требуется сделать из неверного равенства верное. Но! Разрешается переместить лишь одну цифру «3».

Интересно, что эту задачу предлагали на собеседовании на junior-должность в одном достаточно известном банке.

По моему опыту задание не решается нынешними выпускниками за разумное время.

Задача на трех спичках

На днях встретилась забавненькая задачка «Сделайте из трех спичек четыре, разумеется, ломать спички нельзя».

Задача хороша тем, что если ученик не нашел решение, то можно предложить похожие задачи «Сделайте из двух спичек пять ...» и т.д. — есть шанс вывести ученика на самостоятельное решение.

P.S. Задачка-то имеет два решения.

Геометрический оксиморон

Так же как легко объяснить что такое Старый Новый год, несложно растолковать отсутствие одного квадратика на нижнем рисунке.

Вы хорошо считаете проценты? «Задача о забытом огурце»

Рассеянный хозяин оставил свежий огурец на подоконнике на пару недель. В подсохшем огурце процентное содержание воды уменьшилось на 1%, а именно с 99% до 98%. Сколько стал весить забытый огурец, если свежий огурец весил 100 грамм?

Решение

Простенькая задача для решения в уме «Бидон с молоком»

Полный бидон с молоком весит 20 кг. Наполовину заполненный бидон весит 14 кг. Сколько будет весить бидон, заполненный на треть?

Решение