Красота спасет ... школьную математику

В популярном телевизионном сериале молодые ученые подкалывают друг друга, попадая в комичные ситуации и ставя других в неловкое положение. Один из героев, понимая, что он что-то не понимает, просит своих друзей объяснить ему контекст.

Чтобы постичь красоту, надо понимать контекст, быть в теме. Чем основательней вы погружаетесь в предмет изучения (а нашем случае — в раздел математики), тем больше контекста вам доступно, тем шире горизонт сравнения, не зря говорят, красота познается в сравнении.

Школьная математика предоставляет значительный простор для демонстрации красоты неожиданный идей, изобретательных рассуждений, парадоксальных закономерностей. Например, математические игры, задачи на инвариант, золотое сечение, построение циркулем и/или линейкой и многие другие темы, которые вполне по силам обычным школьникам.

Так получается, что многие «красивые» темы встречаются в основном на математических олимпиадах, а не в школьной программе. Интересно, почему? Неужто поверхностное знакомство с высшей математикой стоит того, чтобы задвинуть в дальний угол такие темы, как конические сечения, которые были известны еще в Древней Греции? Если уж речь зашла о древних греках, как это они, не используя предел, догадались до числа «пи»?

P.S. Не подумайте, что я ополчился на высшую математику. Вообще, моим любимым курсом был «Функциональный анализ», который иногда называют Матан-3. Но также я помню с первого курса фразу «дифференцировать можно научить и обезьяну, а интегрировать только человека».

ЕГЭ

Пройти мимо темы ЕГЭ я никак не мог.

Если прокомментировать коротко: с ЕГЭ мы свыклись и даже приспособились. В целом, проведение выпускных экзаменов в такой форме имеет значительно больше достоинств, чем недостатков.

Устроители ЕГЭ обвиняются в том, что произошла подмена традиционной методики преподавания математики натаскиванием на определенные типы задач. У меня есть несколько возражений.

Во-первых, нет ничего плохого в том, что после интенсивной целенаправленной подготовки выпускник будет щелкать как орешки текстовые и вероятностные задачи.

Во-вторых, если расширить раздел «В» вдвое, то придется натаскивать по всему курсу математики. Шутка. Хотя ... см. далее, предложения по отдельному базовому ЕГЭ.

В-третьих, кто-нибудь объяснит мне, что значит натаскивать? Тащить за собой ученика, так как его оценка влияет на зарплату учителя? Так в этом виновата система финансирования образования, а не ЕГЭ.

Порядок проведения ЕГЭ по математике вызывает у меня определенное неприятие. В списке экзаменационных задач имеется два раздела: базовый и профильный уровень — что-то типа американской горки (начинаем с простейшей задачи, заканчиваем олимпиадной).

А почему не проводить ЕГЭ по базовому уровню отдельно? Такой экзамен легко перенести на компьютер, и разрешить сдавать в любое время, хоть в 10-ом классе. Выпускник, предполагающий экзаменоваться по профильному уровню, должен решать большинство базовых задач ЕГЭ уже в 9-ом классе!

Сейчас проводится ГИА в старших классах. Значимость таких ГИА можно поднять с помощью зачета в качестве ЕГЭ базового уровня. Таким образом, будет поощряется учеба не только в выпускном классе.

Что касается задач профильного уровня, то по опыту сдачи экзамена моими учениками скажу, что всё справедливо: случайно балл никто не накинет и не отнимет, выставляются заслуженные оценки.

Что общего у средних?

- Средняя температура по больнице равна ...
- Извините, а какое среднее Вы имеете в виду?

Занимаясь с учениками средними, меня ранее не покидало ощущение недосказанности, которое более всего проявлялось при решении текстовых задач. Дело в том, что в качестве ответа появлялись разные средние, и это приводило к фрагментации темы по типам средних. Всё встало на свои места, когда удалось найти толкование средних, общее для разных типов средних.

Сначала поясню проблему на примере классической задачи:

Автомобиль проехал по одному и тому же маршруту в оба конца без остановок. Туда ехал со скоростью Vтуда = 40 км/ч, обратно — Vобратно = 60 км/ч. Найти среднюю скорость.

Ответ: Vсредняя = 48 км/ч.

Ответ является средним гармоническим, а не средним арифметическим. На эту удочку попадаются многие, не знакомые с темой и не почувствовавшие подвоха.

Почему ответ является средним? Почему среднее арифметическое (A), среднее геометрическое (G), среднее гармоническое (H) и среднее квадратичное (S) в своих названиях содержат среднее?

Приведем общеизвестное определение:

среднее значение множества чисел — некоторое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из значений этого множества.

Всё понятно? Вопрос «Почему ответ является средним?» разрешился? Выходит, что A, G, H и S средние, потому что они больше min и меньше max? Я скажу: «Не верю!»

Ведь должно же что-нибудь объединять разные средние помимо формального условия из определения. Предлагаю толкование, которое, на мой взгляд, объясняет среднее.

Пусть мы рассматривает некоторые действия (явления, события), которые характеризуются двумя значениями a и b. Средним значением a и b является такое m, которое будучи подставленным одновременно вместо a и b не изменит результат действий.

Рассмотрим на примере приведенной выше задачи: при подстановке Vсредняя вместо Vтуда и Vобратно автомобиль проедет тот же маршрут в оба конца за то же время, что и при исходных данных, т.е. время прибытия автомобиля в конечный пункт маршрута не изменится!

По-моему, удалось склеить фрагменты из разных средних, найти то общее, что объединяет все средние.

Решение задач в уме

 «... И растет ребенок там не по дням, а по часам.»

(А.С. Пушкин Сказка о царе Салтане)

В недавнем посте о значимости устного счета не упоминается давнишнее исследование, согласно которому наблюдается явное снижение способностей выпускников средних школ после появления на партах калькуляторов. У меня нет ссылок на данное исследование, но я уверен, что это не легенда.

У меня нет времени и возможностей для проведения исследований на протяжении нескольких десятков лет для определения влияния гаджетов на математические способности школьников. Зато я могу с уверенностью сказать, что тренировка решения математических задач в уме вполне может дать приличный положительный эффект на развитие этих самых способностей, причем, довольно быстро — за несколько десятков занятий, уделяя лишь небольшую часть времени на каждом занятии.

Тренировочный материал, как говорится, лежит под ногами:

• многочисленные квадратные уравнения решаются с помощью теоремы Виета без вычисления дискриминанта;
• этот же подход используется при разложении на множители и упрощении алгебраических выражений;
• метод замены переменной, вообще, держится на видении того, что получается после замены (иначе не понятно, почему требуется именно такая замена);
• не слишком сложные тригонометрические уравнения обычно бывают на одну-две формулы, доводить до ответа нет смысла, а составить план решения в уме надо бы;
• в геометрии, особенно при дополнительных построениях, «работает» сходный механизм представления в уме, а цепочка умозаключений может состоять из нескольких «следовательно», вытекающих друг из друга.

И что немаловажно в учебном процессе: занятия с элементами тренировки решения в уме проходят увлекательно, а когда начинает получаться, еще и задорно.

Примечательно, что шахматисты считают варианты в кульминационный момент шахматной партии и на десять, и на двадцать, а бывает и большее число полуходов (ход белых или черных). А суперпрофессионалам, вообще, не требуется шахматная доска и фигуры, они играют вслепую!

Авторитет истины vs. Истины авторитета

 Amicus Plato, sed magis arnica Veritas  

(Платон мне друг, но истина дороже)

Учитель, будучи старше и опытнее своих учеников, имеет все возможности стать авторитетом в их глазах. Но так ли необходимо стремиться к авторитету?

У подростков-старшеклассников свои кумиры. Они (подростки) — максималисты, поэтому у них кумиры, а не авторитеты. Не вдаваясь в особенности подростковой психологии, стоит признать тщетность попыток завоевать авторитет нравоучениями, приведением примеров других эпох и т.п. Авторитет либо есть, либо ... его немного.

Нам, учителям-математикам, легче, чем другим предметникам демонстрировать авторитет истины: в математике всё определяется и доказывается, а если что-то и ставится под сомнение, то требуется контрпример, опять-таки доказывающий данное сомнение.

У меня был на подготовке к ЕГЭ ученик, способный, трудолюбивый, но уж слишком любознательный, распыляющийся, ему не хватало акцентов в учебе. Понимая, что темпы и интенсивность подготовки к ЕГЭ не соответствуют заявленным целям, мне пришла в голову идея воспользоваться авторитетом истины, так как никакие увещевания с моей стороны о необходимости выполнения домашней работы в полном объеме не помогали. Идея заключалась в том, что пять подряд правильно решенных задач на определенную тему подтверждают готовность к экзамену на эту тему. Что же в итоге? Торжество истины и, увы, небольшое разочарование в связи с упущенными возможностями. Против истины не попрешь.

А, вообще, я за авторитет математики!

«Как мне пригодится синус в дальнейшей жизни?»

Математику уже затем учить следует,
что она ум в порядок приводит.

(М.В. Ломоносов)

Вот такой вопрос я получил от одной из своих учениц, у которой не всё хорошо складывалось с математикой.

Поначалу этот вопрос показался мне наивно детским, похожим на вопрос о необходимости приема таблетки. Ведь, прав ребенок, что таблетка сразу не вылечивает! Зачем тогда мучиться? Признаюсь, мне нравится «играть» с детьми — отвечать со всей серьезностью на их хитроватые, иногда провокационные вопросы. Так и с вопросом про синусы, мне хотелось вмиг переубедить, но ... не нашлось чем ответить.

Подумав, я сформулировал два вполне самостоятельных ответа.

Во-первых, курс школьной математики (как и физики) не может обойтись без тригонометрии. Как только в геометрии определяется угол, то рано или поздно появится синус или косинус этого угла. Более экзотический пример из мира алгебры: некоторые алгебраические уравнения решаются только с помощью тригонометрической замены. Итак, школьная математика (физика) без синусов — это не математика (физика), это уже какой-то другой предмет.

Во-вторых, зачем вообще мы ходили в школу? Каждый из нас с той или иной долей успеха забывает знания, полученные в школе. Сдается мне, что школьная учеба (жизненный опыт, если брать шире) нам пригодится, когда наступит время выбора, принятия решения. Что же касается синусов, то при их изучении требуется изрядная доля абстрактного мышления (например, тригонометрические неравенства).

А как же быть с таблетками? Полагаю, что дело не в таблетках, а в авторитете родителей. Про авторитет учителя см. следующий пост.

Зачем изучают геометрию в школе?

Сегодня математика, особенно геометрия, является
одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов,
потребляемых в системе образования.

(И.Ф. Шарыгин. Нужна ли школе 21-го века Геометрия?)

Странный вопрос, не так ли?

В школьном курсе геометрии рассматриваются фигуры на плоскости и в пространстве, их взаимное расположение, соотношения между элементами этих фигур, различные величины, определяющие фигуры и их части. Значит, геометрию изучают, чтобы знать, понимать и уметь применять сведения, полученные на уроках геометрии.

Опровергать прикладной аспект школьной геометрии я не собираюсь, но не считаю его единственно целевым. Помимо прикладных знаний и навыков на уроках геометрии приобретаются опыт и мастерство логических рассуждений и логического вывода.

Разумеется, вся математика пронизана логикой. Однако именно геометрия демонстрирует логику изложения с первых определений и теорем. Кстати, вспомните, как геометрия нашпигована теоремами!

P.S. Мой ответ на несколько строк не идет ни в какое сравнение со статьей Игоря Федоровича Шарыгина, сыгравшего значительную роль в моей судьбе математика. Рекомендую эту статью-манифест «Нужна ли школе 21-го века Геометрия?» всем заинтересованным проблематикой математического образования в нашей стране.

Устный счет

Недавно узнал, что ошибки дикции приводят к ошибкам правописания, так как при письме текст слышится не правильно. Трудно говорить про аналогию, но параллель провести можно: умение быстро и правильно считать в уме необходимо для совершенствования в математике.

Что происходит при решении математической задачи с калькулятором? Происходит переключение внимания на манипуляции с клавиатурой, т.е. прерывается поток умственной деятельности.

За редким исключением математические задачи составляются таким образом, чтобы арифметические действия можно было выполнить в уме. Более того, сложная арифметика при решении задачи выглядит подозрительно, и стоит перепроверить предыдущие шаги решения. Впрочем, надо быть готовым и к «некрасивым» ответам, но это уже другая тема.