Что общего у средних?

- Средняя температура по больнице равна ...
- Извините, а какое среднее Вы имеете в виду?

Занимаясь с учениками средними, меня ранее не покидало ощущение недосказанности, которое более всего проявлялось при решении текстовых задач. Дело в том, что в качестве ответа появлялись разные средние, и это приводило к фрагментации темы по типам средних. Всё встало на свои места, когда удалось найти толкование средних, общее для разных типов средних.

Сначала поясню проблему на примере классической задачи:

Автомобиль проехал по одному и тому же маршруту в оба конца без остановок. Туда ехал со скоростью Vтуда = 40 км/ч, обратно — Vобратно = 60 км/ч. Найти среднюю скорость.

Ответ: Vсредняя = 48 км/ч.

Ответ является средним гармоническим, а не средним арифметическим. На эту удочку попадаются многие, не знакомые с темой и не почувствовавшие подвоха.

Почему ответ является средним? Почему среднее арифметическое (A), среднее геометрическое (G), среднее гармоническое (H) и среднее квадратичное (S) в своих названиях содержат среднее?

Приведем общеизвестное определение:

среднее значение множества чисел — некоторое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из значений этого множества.

Всё понятно? Вопрос «Почему ответ является средним?» разрешился? Выходит, что A, G, H и S средние, потому что они больше min и меньше max? Я скажу: «Не верю!»

Ведь должно же что-нибудь объединять разные средние помимо формального условия из определения. Предлагаю толкование, которое, на мой взгляд, объясняет среднее.

Пусть мы рассматривает некоторые действия (явления, события), которые характеризуются двумя значениями a и b. Средним значением a и b является такое m, которое будучи подставленным одновременно вместо a и b не изменит результат действий.

Рассмотрим на примере приведенной выше задачи: при подстановке Vсредняя вместо Vтуда и Vобратно автомобиль проедет тот же маршрут в оба конца за то же время, что и при исходных данных, т.е. время прибытия автомобиля в конечный пункт маршрута не изменится!

По-моему, удалось склеить фрагменты из разных средних, найти то общее, что объединяет все средние.